SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Assalamualaikum. Wr. Wb

Saya Ridlah nur fadilah (32) X IPS 2.

Saya membuat blog ini bertujuan untuk memenuhi nilai matematika

Sudut Berelasi merupakan lanjutan dari ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°). Mari kita simak penjelasannya berikut.

Rumus Sudut Berelasi

Dengan memanfaatkan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, termasuk sudut yang lebih dari 360° dan sudut negatif.

Sudut Berelasi di Kuadran I

Untuk α = sudut lancip, maka (90° − α) merupakan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α

cos (90° − α) = sin α

tan (90° − α) = cot α

Sudut Berelasi di Kuadran II

Untuk α = sudut lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) merupakan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = -sin α

tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α

cos (180° − α) = -cos α

tan (180° − α) = -tan α

Sudut Berelasi Kuadran III

Untuk α = sudut lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) merupakan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α

cos (180° + α) = -cos α

tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α

cos (270° − α) = -sin α

tan (270° − α) = cot α

Sudut Berelasi Kuadran IV

Untuk α = sudut lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) merupakan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α

cos (270° + α) = sin α

tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α

cos (360° − α) = cos α

tan (360° − α) = -tan α

Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipakai dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka :

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Sedangkan untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Tabel Sudut Berelasi

Berikut adalah table sudut berelasi sin, cos, tan, cosec, sec, dan cotan di kuadran I, II, III, dan IV.

	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Sin α	Cos (90° – α)	Sin (180° – α)	–Sin (180° + α)	–Sin (360° – α)
Cos α	Sin (90° – α)	–Cos (180° – α)	–Cos (180° + α)	Cos (360° – α)
Tan α	Cotan (90° – α)	–Tan (180° – α)	Tan (180° + α)	–Tan (360° – α)
Cosec α	Sec (90° – α)	Cosec (180° – α)	–Cosec (180° + α)	–Cosec (360° – α)
Sec α	Cosec (90° – α)	–Sec (180° – α)	–Sec (180° + α)	Sec (360° – α)
Cotan α	Cotan (90° – α)	–Cotan (180° – α)	Cotan (180° + α)	–Cotan (360° – α)

Tanda masing-masing kuadran

Kuadran I (0 − 90°) = semua positif

Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif, lainnya negatif

Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif, lainnya negatif

Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif, lainnya negatif

Contoh Soal Sudut Berelasi

Berikut adalah contoh soal yang menggunakan sudut berelasi.

Contoh 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Contoh 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

= cos 27°

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Konversi Radian ke Derajat

Karena 1 rad = $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$, untuk mengubah x radian ke derajat dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$, ditulis$$xrad=x\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }$$
Contoh 1
Ubahlah  sudut-sudut berikut dalam derajat
a.  $\frac{\pi }{3}$ rad = ... °
b.  4π rad = ... °

 Jawab :
a.  $\frac{\pi }{3}$ rad  =  $\frac{\pi }{3}$ . $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$  =  60°
b.  4π rad  =  4π . $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$  =  720°

Konversi Derajat ke Radian

Karena 1° = $\frac{\pi }{180}$ rad, untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan $\frac{\pi }{180}$ rad, ditulis$$x^{\circ }=x\cdot \frac{\pi }{180}rad$$
Contoh 2 

Ubahlah sudut-sudut berikut dalam radian

a. 30° = ... rad

b. 270° = ... rad

Jawab :
a.  30°  =  30 . $\frac{\pi }{180}$ rad  =  $\frac{\pi }{6}$ rad
b.  270°  =  270 . $\frac{\pi }{180}$ rad  =  $\frac{3\pi }{2}$ rad

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu

Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km

Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°

Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]

AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]

AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]

AC² = 28.900 - 12.000

AC = √ 16.900

Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60^o dan ∠BAC = 30^o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan :

^AC/_{sin ∠ABC} = ^BC/_sin∠BAC

^4cm/_{sin 60} = ^BC/_sin30

^4cm/_½√3 = ^BC/_½

BC = ½ × ^4cm/_½√3

BC = ^4cm/_√3

BC = ⁴/₃ √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC⁴/₃ √3cm.

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut ini :
(a) y = 5.sin (3x – 60^o)            

(b) y = 3.cos(2x + 45^o)
(c) y = 6.tan2x                           

(d) y = 4 + 2cos5x
Jawab :

demikian penjelasan dari saya, wassalamualaikum. Wr. Wb