PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL DAN CONTOH SOAL

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL DAN CONTOH SOAL

assalamualikum wr.wb. saya Ridlah Nur Fadilah absen 31 kelas XI IPS 2 akan menyelesaikan tugas dari bu Liza Novrida dalam mata pelajaran matematika.

Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus .

Gradien Garis disimbolkan dengan mdimana :

gradien pada persamaan garis y=mx+c adalah m

gradien pada persamaan garis ax+by=c adalah m=−ab

gradien jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah m=y2−y1x2−x1

Gradien dua garis lurus :

yang saling sejajar maka m1=m2

yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1

 

Persamaan Garis Lurus :

Jika diketahui satu titik (x1,y1) dan gradien m, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)

Jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)

persamaan-garis-singgung-kurva.jpg

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x) di titik A(a,f(a)) adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah y−y1=m(x−x1) , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a)) pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)

 Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y — y1 = m(x — x1)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 — 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2

y = x4 — 3x3 + 6x + 7

y = 24 — 3.23 + 6.2 + 7 = 16 — 24 + 12 + 7 = 11

m = y’ = 4x3 — 9x2 + 6 = 4.23 — 9.22 + 6 = 32 — 36 + 6 = 2

y — y1 = m(x — x1)

y — 11 = 2 (x — 2)

y — 11 = 2x — 4

y = 2x + 7

 

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 — 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30

2x3 — 24 = 30

2x3 = 54

x3 = 27

x = 3

m = y’ = 6x2 = 6.32 = 54

y — y1 = m(x — x1)

y — 30 = 54 (x — 3)

y — 30 = 54x — 162

y = 54x — 132

 

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 — x4 yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32

y’ = 32

-4x3 = 32

x3 = -8

x = -2

y = 20 — x4 = 20 -(16) = 4

 

y — y1 = m(x — x1)

y — 4 = 32(x + 2)

y — 4 = 32x + 64

y = 32x + 68

 

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y = x6 + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72

6y = — x + 72

y = -1/6 x + 12

m1 = -1/6

Karena tegak lurus maka

m1.m2 = -1

m2 = 6

y = x6 + 22

y’ = m2

6x5 = 6

x5 = 1

x = 1

y = x6 + 22

y = 16 + 22 = 23

y — y1 = m(x — x1)

y — 23 = 6(x -1)

y — 23 = 6x — 6

y = 6x + 17

 

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π

y = sin 2x = sin 2π = 0

m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y — y1 = m(x — x1)

y — 0 = -2(x — π)

y = -2x + 2π

titik potong sumbu y → x = 0

y = 0 + π = π

Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

 

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x2 — 7x + 2 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 — 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45o = 1

y = 0,5x2 — 7x + 2

y’ = m

x — 7 = 1

x = 8

y = 0,5x2 — 7x + 2

y = 0,5.82 — 7.8 + 2

y = 32 — 56 + 2 = -22

y — y1 = m(x — x1)

y + 22 = 1.(x — 8)

y = x — 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 — 2x dengan y = x — 30

x — 30 = 9 — 2x

3x = 39

x = 13

y = x — 30 = 13 — 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

 

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x2 + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax3 + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka

y = x2 + 10x + 7

y = 12 + 10.1 + 7 = 18

m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12

y — y1 = m(x — x1)

y — 18 = 12 (x — 1)

y — 18 = 12x — 12

y = 12x + 6

y = ax3 + b

y’ = m

3ax2 = 12

karena menyinggung di x = 4 maka

3a.42=12

48a = 12

a = 1/4

Kurva menjadi y = 1/4 x3 + b

garis singgung y = 12x + 6

saat x = 4 maka y = 48 + 6 = 54

maka kurva y = 1/4 x3 + b melalui (4, 54)

54 = 1/4 . 43 + b

54 = 16 + b

b = 38

 

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x3 — 3x2 + 5x — 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5

x3 — 3x2 + 5x — 10 = 5

x3 — 3x2 + 5x — 15 = 0

x2 (x — 3) + 5(x — 3) = 0

(x2 + 5)(x — 3) = 0

x2 = -5 (tidak mungkin)

x = 3

m = y’ = 3x2 — 6x + 5

m = 3.32 — 6.3 + 5

m = 27 — 18 + 5 = 14

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14

m = 14

y’ = 14

3x2 — 6x + 5 = 14

3x2 — 6x — 9 = 0

x2 — 2x — 3 = 0

(x — 3)(x + 1) = 0

x = 3 (tidak memenuhi, sebab ini adalah absis titik singgung garis g)

x = -1

y = x3 — 3x2 + 5x — 10

y = (-1)3 — 3(-1)2 + 5(-1) — 10

y = -1 — 3 — 5 — 10 = -19

y — y1 = m(x — x1)

y + 19 = 14 ( x + 1)

y + 19 = 14x + 14 

y = 14x — 5