TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

 

TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

assalamualikum wr.wb. saya Ridlah Nur Fadilah absen 30 kelas XI IPS 2 akan menyelesaikan tugas dari bu Liza Novrida dalam mata pelajaran matematika.

Translasi

1. Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi  

(42)

Pembahasan:

Misalkan titik P(3,-7).

T = (42) : P(3,-7) → P'(3+4 , -7+2) = P'(7,-5)

Jadi, bayangan titik (3,-7) oleh translasi  (42) adalah (7,-5)

2. Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh karena translasi 

(2a) diperoleh bayangan titik P yaitu P'(-2a, -4). Tentukanlah nilai a.

Pembahasan:

T = (2a) : P(4,-1) → P'(-2a , -4)  

P'(-2a, -4) = P'(2+4, a+(-1))

P'(-2a, -4) = P'(6, (a-1))

⟺-2a = 6

⟺ a = 6/-2

⟺ a = -3

Jadi, nilai a adalah -3

3. Titik P'(2,-4) adalah bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Tentukanlah translasi T.

Pembahasan:

T = (ab) : P(3,5) → P'(3+a , 5+b) = P'(2,-4)

Sehingga diperoleh:

   3 + a = 2  => a = -1

   5 + b = -4 => b = -9

Jadi, translasi T = (−1−9).

Refleksi

1. Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A.

Pembahasan:
Mx : P(3,-5) => P'(x',y')

 Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(100−1)=(3−5)
⟺ (x′y′)=(100−1)=(3−5)
⟺ (x′y′)=(1.3+0(−5)0.3+(−1)(−5))=(35)
Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5).

2. Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P.
Pembahasan:
Matriks transformasi:

Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(0−1−10)=(xy)
⟺ (x′y′)=(0−1−10)=(−37)
⟺ (x′y′)=(0.(−3)+(−1).7(−1)(−3)+0.7)
⟺ (x′y′)=(−73)
Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(-7,3).

3. Jika garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Pembahasan:
Garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y.
Matriks transformasi:

Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(−1001)=(xy)
⟺ (x′y′)=(−xy)
Dengan demikian:
x' = -x  => x = -x'
y' = y   => y = y'
Dengan mensubtitusikan x = -x' dan y = y' pada persamaan garis, maka diperoleh:
(-x') - 2(y') - 3 = 0
-x' - 2y' - 3 = 0
Jadi,bayangan garis x - 2y - 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah -x- 2y -3 = 0.

Rotasi

1. Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(01−10).(xy)
⟺ (x′y′)=(01−10).(21)
⟺ (x′y′)=(−12)

Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2.

Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2).

2. Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ).(xy)
Karena θ = 45⁰, maka:
(x′y′)=(cos45⁰sin45⁰−sin45⁰cos45⁰).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2½√2−½√2½√2).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2x−½√2y½√2x+½√2y)
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2  ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2  ...........(2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.

Jadi, koordinat titik A adalah (0,2).

3. Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.

Pembahasan:

(x′y′)=(0−110).(x−ay−b)+(ab)
⟺ (x′y′)=(0−110).(5−2−1−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(0−110).(3−4)+(23)
⟺ (x′y′)=(−4−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(−20)

Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0.

Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0).

Dilatasi

1. Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 .

Pembahasan:

Dengan demikian,  x' = 3 dan y' = -3/2.

Jadi, bayangan titik  P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2).

2. Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3.

Pembahasan:

(x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab)

⟺ (x′y′)=(−300−3).(2−3−1−4)+(34)

⟺ (x′y′)=(−300−3).(−1−5)+(34)

⟺ (x′y′)=(315)+(34)

⟺ (x′y′)=(619) 

Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19.

Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19).