NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN BESERTA CONTOH SOALNYA

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN BESERTA CONTOH SOALNYA

assalamualikum wr.wb. saya Ridlah Nur Fadilah absen 31 kelas XI IPS 2 akan menyelesaikan tugas dari bu Liza Novrida dalam mata pelajaran matematika.

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

Jika 
f′(x) bertanda positif, atau f′(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
Jika f′(x) bertanda negatif, atau f′(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
Jika f′(x) bertanda netral, atau f′(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).
Kondisi suatu fungsi y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x) dalam intervaI I dengan f(x) diferensiabel
(dapatditurunkan) pada setiap x di dalam interval I.Jika f′(x)>0, maka kurva f(x) akan selalu naik pada interval I.
Jika f′(x)<0, maka kurva f(x) akan selalu turun pada interval I. 
Jika f′(x)=0, maka kurva f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval I.
Jika f′(x)≥0, maka kurva f(x) tidak pernah turun pada interval I.
Jika f′(x)≤0, maka kurva f(x) tidak pernah naik pada interval I.


Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi 
f(x) berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik a dan b disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi f(x) naik saat x< atau x>b, sedangkan f(x) turun pada saat a<x<b.



CONTOH SOAL

Contoh 1 
Tentukan nilai limit dari :
lim
x→∞
  4x + 1x2 - 2 
Jawab :
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 - 2. Sehingga :
lim
x→∞
  4x + 1x2 - 2 
⇔ 
lim
x→∞
 
4xx2 
 + 
1x2 
x2x2 
 - 
2x2 
⇔ 
lim
x→∞
 
4x 
 + 
1x2 
1 - 
2x2 
 = 
4∞ 
 + 
1(∞)2 
1 - 
2(∞)2 
 = 
0 + 0
1 - 0
 = 0
Contoh 2
Carilah nilai limit dari :
lim
x→∞
  2x2 - 5x2 - 3 
Jawab :
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
lim
x→∞
  2x2 - 5x2 - 3 
⇔ 
lim
x→∞
 
2x2x2 
 - 
5x2 
x2x2 
 - 
3x2 
⇔ 
lim
x→∞
 
2 - 
5x2 
1 - 
3x2 
 = 
2 - 
5(∞)2 
1 - 
3(∞)2 
 = 
2 - 0
1 - 0
 = 2
Contoh 3
Carilah limit dari :
lim
x→a
  x4 - a4x - a 
Jawab :
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
lim
x→a
  x4 - a4x - a = 
a4 - a4
a - a
 = 
0
0
 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :
⇔ 
lim
x→a
  (x2 - a2)(x2 + a2)x - a 

Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
⇔ 
lim
x→a
  (x - a)(x + a)(x2 + a2)(x - a) = (a + a)(a2 + a2) = 4a3
Contoh 3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→2
  
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 

Jawab :
Dengan substitusi langsung :
lim
x→2
  
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 =  
√2 + 2 - √3(2) - 2
2 - 2 =  
√4 - √4
0 = 00 

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→2
  
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 x  
√x + 2 + √3x - 2
√x + 2 + √3x - 2
 

lim
x→2
  (x + 2)(3x -2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) 

lim
x→2
  -2x + 4(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) 

lim
x→2
  -2(x - 2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) = -2(√2 + 2 + √3(2) - 2) = -2(√4 + √4) = -12 
Contoh 4
Carilah nilai limit berikut :
a. 
lim 4
x→3

b. 
lim 3x
x→3

c. 
lim
x→2
  3x2 

d. 
lim 3x2 + 5
x→3

e. 
lim
x→2
  2x2 + 42x + 2 
Jawab :

  a. 
lim 4 = 4
x→3 

b. 
lim 3x = 3.(3) = 9
x→3

c. 
lim
x→2
  3x2 = 3.(2)2 = 3

d. 
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32
x→3

e. 
lim
x→2
  2x2 + 42x + 2 = 2.(22) + 42.(2) + 2 = 126 = 2

Contoh 5
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim
x→2
 
x2 - 4x - 2 
Jawab :
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
lim
x→2
  x2 - 4x - 2 = 22 - 42 - 2 = 00 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :
lim
x→2
  x2 - 4x - 2 = (x-2)(x+2)(x-2) = (x+2)= (2+2) = 4

Contoh 6
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→3
 
x2 - 9√ x2 + 7 - 4 
Jawab :
Dengan substitusi langsung
lim
x→3
  (x2 - 9)√ x2 + 7 - 4 = (32 - 9)√ 32 + 7 - 4 = 00 

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→3
  (x2 - 9)√ x2 + 7 - 4 x √x2 + 7 + 4√ x2 + 7 + 4 
⇔ 
lim
x→3
  (x2 - 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 + 7) - 16 
⇔ 
lim
x→3
  (x2 - 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 - 9) 
⇔ 
lim
x→3
 (√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8

Contoh 7 
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim
x→2
  x2 - 5x + 6x2 - 4 
Jawab :
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
lim
x→2
  x2 - 5x + 6x2 - 4 = 22 - 5.(2) + 622 - 4 = 00 (bentuk tidak tentu)

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
lim
x→2
  x2 - 5x + 6x2 - 4 = 2x - 52x = 2.(2) - 52.(2) = - 14
 
Contoh 8
Tentukan nilai limit dari :
lim
x→∞
  4x - 12x + 1 
Jawab :
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
lim
x→∞
  4x - 12x + 1 
⇔ 
lim
x→∞
 
4xx 
 - 
1x 
2xx 
 + 
1x 
⇔ 
lim
x→∞
 
4 - 
1x 
2 + 
1x 
 = 
4 - 
1∞ 
2 + 
1∞ 
 = 
4 - 0
2 - 0
 = 2

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

SOAL Limit, Turunan, Integral

Image
SOAL Limit, Turunan, Integral assalamualikum wr.wb. saya Ridlah Nur Fadilah absen 31 kelas XI IPS 2 akan menyelesaikan tugas dari bu Liza Novrida dalam mata pelajaran matematika. 11. Interval Fungsi naik dan turun dari fungsi f (x)=x²-8x³ + 16x² +1 adalah...  Jawab :
Read more

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL DAN CONTOH SOAL

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL DAN CONTOH SOAL assalamualikum wr.wb. saya Ridlah Nur Fadilah absen 31 kelas XI IPS 2 akan menyelesaikan tugas dari bu Liza Novrida dalam mata pelajaran matematika. Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus . Gradien Garis disimbolkan dengan mdimana : gradien pada persamaan garis y=mx+c adalah m gradien pada persamaan garis ax+by=c adalah m=−ab gradien jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah m=y2−y1x2−x1 Gradien dua garis lurus : yang saling sejajar maka m1=m2 yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1   Persamaan Garis Lurus : Jika diketahui satu titik (x1,y1) dan gradien m, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1) Jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1 Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya...
Read more

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Image
Assalamualaikum. Wr. Wb Saya Ridlah nur fadilah (32) X IPS 2. Saya membuat blog ini bertujuan untuk memenuhi nilai matematika Sudut Berelasi merupakan lanjutan dari ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°). Mari kita simak penjelasannya berikut. Rumus Sudut Berelasi Dengan memanfaatkan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, termasuk sudut yang lebih dari 360° dan sudut negatif. Sudut Berelasi di Kuadran I Untuk α = sudut lancip, maka (90° − α) merupakan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (90° − α) = cos α cos (90° − α) = sin α tan (90° − α) = cot α Sudut Berelasi di Kuadran II Untuk α = sudut lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) merupakan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (90° + α) = cos α cos (90° + α) = -sin α tan (90° + α...
Read more